ここでは、アイソヘドラルタイリングIH13（PMG）について、解説します。
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IH13（PMG）
アイソヘドラルタイリングIH13（PMG）の基本図形は以下のような形になります。
これは、記事「基本図形の形を考える」で示したPMG群の基本図形（五角形）の各辺の長さを調整したものを2つ組み合わせたものになっています。
IH13（PMG）の基本図形のサイズ
この基本図形の各辺に以下の図のように、ラベルを振ります。
IH13（PMG）の基本図形は六角形で、上図のように点線で2つの五角形に分けると、各五角形は記事「基本図形の形を考える」で示したPMG群の基本図形（五角形）の各辺の長さを調整したものであり、2つの五角形は点線でお互いに線対称になっています。
今回、辺\(a\)と辺\(a’\)のそれぞれの中点は、横方向に近接する長方格子点（黒点）の並びとなるように設定し、辺\(c\)と辺\(c’\)のそれぞれの中点は、縦方向に近接する長方格子点の中点（赤点）の並びとなるように設定します。また、上図の\(r_1, r_2\)は\(r_1+r_2\)が縦方向に近接する長方格子点の高さの半分となるように設定し、\(r_3, r_4\)は\(r_3+r_4\)が横方向に近接する長方格子点の距離の半分となるように設定します。
IH13（PMG）の基本図形を並べる
このIH13（PMG）の基本図形をPMG群の対称性を保ちながら並べると、以下のような図形が得られます。
IH13（PMG）の基本図形の変形
基本図形の変形を行うために、基本図形の各辺にラベルをふって、隣り合う基本図形との辺の対応関係を見てみます。
辺\(a\)（または辺\(a’\)）と辺\(c\)（または辺\(c’\)）がそれぞれ異なる向きに重なっています。つまり、辺\(a\)（または辺\(a’\)）と辺\(c\)（または辺\(c’\)）をそれぞれその中点に対して点対称に変形します。辺\(b\)と辺\(d\)が重なっていますが、今回、向きは両方に取っています。これは、辺\(b\)をその垂直二等分線に対して線対称になるように変形し、辺\(d\)は変形した辺\(b\)を上下反転した形状に変形します。それにより、隣り合う基本図形同士を重ねることなくPMG群の対称性に従って敷き詰めることができます。
※辺\(b\)と辺\(d\)の変形について
『辺\(b\)をその垂直二等分線に対して線対称になるように変形する』と説明しましたが、これについてもう少し詳しく見てみます。そのために、以下のように、IH13（PMG）の基本図形を記事「基本図形の形を考える」で示したPMG群の基本図形（五角形）に分けて考えてみます。
このとき、辺\(b\)は２つの辺\(b’\)、辺\(d\)は２つの辺\(d’\)にそれぞれ分けられます。辺\(b\)は辺\(b’\)を異なる向きに2つ並べたものになっていますので、辺\(b\)の変形は垂直二等分線（ここでは点線）に対して線対称になることになります。一方、辺\(b’\)と辺\(d’\)が異なる向きに重なっています。これは辺\(b’\)を変形し、辺\(d’\)は変形した辺\(b’\)を上下左右反転した形状に変形することを表しています。つまり、辺\(d\)は変形した辺\(b\)を上下反転した形状に変形すればよいことが分かります。
ここでは、書籍「装飾パターンの法則」のp.96にあるIH13（PMG）の例を参考に、このルールに従ってIH13（PMG）の基本図形を下図のように変形してみました。
この変形した基本図形をPMG群の対称性を考慮して並べていくと、下図のような図形を得ることができます。なお、今回は長方格子点も示しています。
プログラムコード
今回の図形を作成するためのプログラムコードを示します。
PVector[][] lattice; // 格子点ベクトル
PShape tile; // タイル
PVector[] base = new PVector[2]; // 格子を張るベクトル
int col_num = 4; // 描画するタイルの列の数
float scalar; // タイルの辺の長さ
void setup(){
size(1000, 1000, P2D);
noFill();
scalar = width * 1.0 / col_num; // 描画ウィンドウと行の数からタイルの大きさを決定
makeRectVector(); // 長方格子を張るベクトルの生成
makeLattice(); // 格子点ベクトルを生成
makeTilePMG(); // タイルを生成
drawTiling(); // タイリングを描画
save("IH13_PMG_transformation.jpg");
}
// 長方格子を張るベクトルを生成する関数
void makeRectVector(){
base[0] = new PVector(1.0, 0.0);
base[1] = PVector.fromAngle(PI / 2.0);
base[1].mult(1.2);
}
// 長方格子を生成する関数
void makeLattice(){
int row_num = ceil(col_num / base[1].y); // 行の数
lattice = new PVector[col_num + 1][row_num + 1];
for (int i = 0; i < col_num + 1; i++){
for (int j = 0; j < row_num + 1; j++){
PVector v = PVector.mult(base[0], i * scalar);
v.add(PVector.mult(base[1], j * scalar));
lattice[i][j] = new PVector(v.x % ((col_num+1)*scalar), v.y);
}
}
}
// 六角形を変形する関数（基本図形）
PShape transformHexagon(){
PVector[] v = new PVector[6]; // 六角形の頂点
float r1, r2, r3;
r1 = 3.0/5.0 * scalar * base[1].y / 2.0;
r2 = 2.0/5.0 * scalar * base[1].y / 2.0;
r3 = 3.0/10.0 * scalar * base[0].x;
v[0] = new PVector(-r3, -r2);
v[1] = new PVector(r3, r2);
v[2] = new PVector(-r3, r2);
v[2].add(base[0].copy().mult(scalar));
v[3] = new PVector(r3, -r2);
v[3].add(base[0].copy().mult(scalar));
v[4] = new PVector(-r3, -r1);
v[4].add(base[0].copy().mult(scalar));
v[4].sub(base[1].copy().mult(scalar / 2.0));
v[5] = new PVector(r3, -r1);
v[5].sub(base[1].copy().mult(scalar / 2.0));
// 六角形を変形する
PShape hexagon = createShape();
hexagon.beginShape();
PVector[] auxiliary_point = new PVector[5];
// 辺aを中点に対して点対称に変形する
hexagon.vertex(v[0].x, v[0].y);
auxiliary_point[0] = getAuxiliaryPoint(v[0], v[1], 1.0/2.0, -1.0);
auxiliary_point[1] = getAuxiliaryPoint(v[0], v[1], 1.0/2.0, 1.0);
hexagon.bezierVertex(auxiliary_point[0].x, auxiliary_point[0].y, auxiliary_point[1].x, auxiliary_point[1].y, v[1].x, v[1].y);
// 辺bを垂直二等分線に対して線対称に変形する
auxiliary_point[0] = getAuxiliaryPoint(v[1], v[2], 1.0/2.0, -1.0/2.0);
hexagon.quadraticVertex(auxiliary_point[0].x, auxiliary_point[0].y, v[2].x, v[2].y);
// 辺a'を辺aと同じ形に変形する
auxiliary_point[0] = getAuxiliaryPoint(v[2], v[3], 1.0/2.0, 1.0);
auxiliary_point[1] = getAuxiliaryPoint(v[2], v[3], 1.0/2.0, -1.0);
hexagon.bezierVertex(auxiliary_point[0].x, auxiliary_point[0].y, auxiliary_point[1].x, auxiliary_point[1].y, v[3].x, v[3].y);
// 辺c'を中点に対して点対称に変形する
auxiliary_point[0] = getAuxiliaryPoint(v[3], v[4], 1.0/8.0, 1.0/4.0);
auxiliary_point[1] = getAuxiliaryPoint(v[3], v[4], 3.0/8.0, 0.0);
auxiliary_point[2] = getAuxiliaryPoint(v[3], v[4], 1.0/2.0, 0.0);
auxiliary_point[3] = getAuxiliaryPoint(v[3], v[4], 5.0/8.0, 0.0);
auxiliary_point[4] = getAuxiliaryPoint(v[3], v[4], 7.0/8.0, -1.0/4.0);
hexagon.bezierVertex(auxiliary_point[0].x, auxiliary_point[0].y, auxiliary_point[1].x, auxiliary_point[1].y, auxiliary_point[2].x, auxiliary_point[2].y);
hexagon.bezierVertex(auxiliary_point[3].x, auxiliary_point[3].y, auxiliary_point[4].x, auxiliary_point[4].y, v[4].x, v[4].y);
// 辺dを辺bと同じ形を上下反転した形に変形する
auxiliary_point[0] = getAuxiliaryPoint(v[4], v[5], 1.0/2.0, 1.0/2.0);
hexagon.quadraticVertex(auxiliary_point[0].x, auxiliary_point[0].y, v[5].x, v[5].y);
// 辺cを辺c'と同じ形に変形する
auxiliary_point[0] = getAuxiliaryPoint(v[5], v[0], 1.0/8.0, -1.0/4.0);
auxiliary_point[1] = getAuxiliaryPoint(v[5], v[0], 3.0/8.0, 0.0);
auxiliary_point[2] = getAuxiliaryPoint(v[5], v[0], 1.0/2.0, 0.0);
auxiliary_point[3] = getAuxiliaryPoint(v[5], v[0], 5.0/8.0, 0.0);
auxiliary_point[4] = getAuxiliaryPoint(v[5], v[0], 7.0/8.0, 1.0/4.0);
hexagon.bezierVertex(auxiliary_point[0].x, auxiliary_point[0].y, auxiliary_point[1].x, auxiliary_point[1].y, auxiliary_point[2].x, auxiliary_point[2].y);
hexagon.bezierVertex(auxiliary_point[3].x, auxiliary_point[3].y, auxiliary_point[4].x, auxiliary_point[4].y, v[0].x, v[0].y);
hexagon.endShape();
return hexagon;
}
// 辺を変形するために必要な補助点を算出する関数
PVector getAuxiliaryPoint(
PVector start,
PVector end,
float parallel_size,
float vertical_size
){
PVector dir_parallel = end.copy().sub(start.copy());
PVector dir_vertical = new PVector(-dir_parallel.y, dir_parallel.x);
PVector auxiliary_point = start.copy().add(dir_parallel.copy().mult(parallel_size)).add(dir_vertical.copy().mult(vertical_size));
return auxiliary_point;
}
// タイルを生成する関数
void makeTilePMG(){
tile = createShape(GROUP); // PShapeのグループを作る
for(int i=0; i<2; i++){
PShape rectangle = transformHexagon(); // 変形した六角形の生成
rectangle.scale(1,pow(-1,i)); // 六角形の反転
rectangle.translate(i*scalar, 0.0); // 六角形の位置を調整
tile.addChild(rectangle); // グループに追加
}
}
// 格子形状に合わせたタイリングを描画する関数
void drawTiling(){
// background(255);
for (int i=0; i<lattice.length; i++){
for (int j=0; j<lattice[0].length; j++){
if( i%2 == 0 ){
tile.resetMatrix();
tile.translate(lattice[i][j].x, lattice[i][j].y); // タイルの位置を指定
shape(tile); // タイルを描画
}
}
}
// 格子点を描く
for (int i=0; i<lattice.length; i++){
for (int j=0; j<lattice[0].length; j++){
circle(lattice[i][j].x, lattice[i][j].y, 10);
}
}
}