リサージュ図形 - 数学アートの部屋

書籍「マス・アート～真理、美、そして方程式～」で紹介されていたリサージュ図形を基本とした作品の数々。リサージュ図形の可能性に興味を惹かれました。

Contents

1 リサージュ曲線
2 リサージュ図形（\(N=1\)）
3 リサージュ図形（\(N=2\)）
4 リサージュ図形（\(N=3\)）
- 4.1 ギャラリー
5 鉄の魔神
6 トーラス型コイル
7 リサージュ図形の回転に関する考察
8 リサージュ図形（\(N=2\)）　2つ目の波形の回転
9 拡張されたリサージュ図形
10 参考文献

リサージュ曲線

このサイトで作成していきたい作品は、以下のパラメータ表示された、リサージュ曲線を用いて描いていきたいと思います。

\[ x(t) = \sum_{n=1}^{N} A_n \sin ( \omega_{x,n} t + \theta_{x,n}), \ \ y(t) = \sum_{n=1}^{N} B_n \sin ( \omega_{y,n} t + \theta_{y,n}) \]

ここで、\( A_n, \ \ B_n \)は振幅、\( \omega_{x,n}, \ \ \omega_{y,n} \)は周波数、そして\( \theta_{x,n}, \ \ \theta_{y,n} \)は位相をそれぞれ表しています。また、\[ A_1 \geq A_2 \geq \cdots \geq A_N, \ \ B_1 \geq B_2 \geq \cdots \geq B_N \]を満たします。

\(N\)は項数を表しています。この値が大きくなれば、より複雑でより豊かな美しい図形を描いていくことができます。

これらの値を設定してパラメータ\(t\)を動かしていくことで\(xy\)平面上にさまざまな図形を描いていくことができます。

リサージュ曲線を描くための関数のプログラムコードをここで紹介しておきます。以降でさまざまなリサージュ図形を描いていくときに利用しています。

// リサージュ曲線を描く関数
void drawLissajous(
  int N, // 項数
  float[] r_x, // x方向の振幅に関する配列
  float[] omega_x, // x方向の周波数に関する配列
  float[] theta_x, // x方向の位相に関する配列
  float[] r_y, // y方向の振幅に関する配列
  float[] omega_y, // y方向の周波数に関する配列
  float[] theta_y, // y方向の位相に関する配列
  float cycle // 回転数
){
  float x, y;
  int num = 10000;
 
  beginShape();
  for(int i=0; i<num*cycle; i++){
    x = 0.0;
    y = 0.0;
    for(int j=0; j<N; j++){
      x += r_x[j] * sin( omega_x[j] * radians(i*360.0/num) + radians(theta_x[j]) );
      y += r_y[j] * sin( omega_y[j] * radians(i*360.0/num) + radians(theta_y[j]) );
    }
    vertex(x,y);
  }
  endShape();
}

リサージュ図形（\(N=1\)）

\( N=1 \)でのリサージュ図形について考えます。この場合のリサージュ曲線は以下のようになります。

\[ x(t) = A_1 \sin ( \omega_{x,1} t + \theta_{x,1}), \ \ y(t) = B_1 \sin ( \omega_{y,1} t + \theta_{y,1}) \]

なお、一般的にリサージュ図形やリサージュ曲線と言えば、この\(N=1\)の場合に相当するようですが、ここではより一般的な\(N \geq 2\)の場合も含めて、リサージュ図形やリサージュ曲線と呼んでいます。

ここでは、まず\(x\)方向と\(y\)方向とで、位相をずらした場合と周波数をずらした場合について考察しています。

リサージュ図形（\(N=2\)）

\( N=2 \)でのリサージュ図形について考えます。この場合のリサージュ曲線は以下のようになります。

\[ x(t) = A_1 \sin ( \omega_{x,1} t + \theta_{x,1})+A_2 \sin ( \omega_{x,2} t + \theta_{x,2}) , \\ y(t) = B_1 \sin ( \omega_{y,1} t + \theta_{y,1})+ B_2 \sin ( \omega_{y,2} t + \theta_{y,2}) \]

ここでは、大きい振幅\(A_1, \ \ B_1 \)の軌道に対して小さい振幅\(A_2, \ \ B_2 \)の軌道を加えることでどのような図形が描けるかを見ていきたいと思います。

リサージュ図形（\(N=3\)）

ここでは、\( N=3 \)でのリサージュ図形を用いた作品を紹介します。

\[ x(t) = A_1 \sin ( \omega_{x,1} t + \theta_{x,1})+A_2 \sin ( \omega_{x,2} t + \theta_{x,2})+A_3 \sin ( \omega_{x,3} t + \theta_{x,3}) , \\ y(t) = B_1 \sin ( \omega_{y,1} t + \theta_{y,1})+ B_2 \sin ( \omega_{y,2} t + \theta_{y,2}) + B_3 \sin ( \omega_{y,3} t + \theta_{y,3}) \]