ここでは、アイソヘドラルタイリングIH80(P4M)について、解説します。
Contents
IH80(P4M)
アイソヘドラルタイリングIH80(P4M)の基本図形は以下のような形になります。
![](https://www.mathartroom.com/wp-content/uploads/2022/10/IH80_P4M_FundamentalbeforeTransformation.jpg)
これは、記事「基本図形の形を考える」で示したP4M群の基本図形になっています。
IH80(P4M)の基本図形のサイズ
この基本図形の各辺に以下の図のように、ラベルを振ります。
![](https://www.mathartroom.com/wp-content/uploads/2022/10/13a413c1b4bf108668d957b2ae8e7e38.jpg)
今回、基本図形は直角二等辺三角形の形状をしています。直角二等辺三角形の3つの頂点はそれぞれ正方格子点(黒点)と一致するようにとります。
IH80(P4M)の基本図形を並べる
このIH80(P4M)の基本図形をP4M群の対称性を保ちながら並べると、以下のような図形が得られます。
![](https://www.mathartroom.com/wp-content/uploads/2022/10/IH80_P4M-1.jpg)
IH80(P4M)の基本図形の変形
基本図形の変形を行うために、基本図形の各辺にラベルをふって、隣り合う基本図形との辺の対応関係を見てみます。
![](https://www.mathartroom.com/wp-content/uploads/2022/10/aa523f68ef1a5d5069b3cbb51973a70f.jpg)
辺\(a,b,c\)はそれぞれ両側のラベルが同じで同じ向きに重なっています。つまり、辺\(a,b,c\)は3辺とも変形できないことがわかります。これは、IH80(P4M)の基本図形が変形できないことを示しています。
IH80(P4M)の基本図形に模様をつける
IH80(P4M)の基本図形は変形できませんので、代わりに模様をつけてみます。
IH80(P4M)の基本図形自身には特に対称性がありませんので、模様は自由に描くことができますが、他のアイソヘドラルタイリング(IH82(P4M))と区別するために非対称な形の模様を描きます。
ここでは、書籍「装飾パターンの法則」のp.105にあるIH80(P4M)の例を参考に、以下のように模様を描いてみました。
![](https://www.mathartroom.com/wp-content/uploads/2022/11/IH80_P4M_decorationForFundamental.jpg)
この模様を描いた基本図形をP4M群の対称性を考慮して並べていくと、下図のような図形を得ることができます。なお、今回は正方格子点も示しています。
ちなみに、書籍「装飾パターンの法則」のp.105にあるIH80(P4M)の例(一番右の図)は間違っているようです。
![](https://www.mathartroom.com/wp-content/uploads/2022/11/IH80_P4M_decoration.jpg)
プログラムコード
今回の図形を作成するためのプログラムコードを示します。
PVector[][] lattice; // 格子点ベクトル
PShape tile; // タイル
PVector[] base = new PVector[2]; // 格子を張るベクトル
int col_num = 4; // 描画するタイルの列の数
float scalar; // タイルの辺の長さ
void setup(){
size(1000, 1000, P2D);
noFill();
scalar = width * 1.0 / col_num; // 描画ウィンドウと行の数からタイルの大きさを決定
makeSquareVector(); // 正方格子を張るベクトルの生成
makeLattice(); // 格子点ベクトルを生成
makeTileP4M(); // タイルを生成
drawTiling(); // タイリングを描画
save("IH80_P4M_decoration.jpg");
}
// 正方格子を張るベクトルを生成する関数
void makeSquareVector(){
base[0] = new PVector(1.0, 0.0);
base[1] = new PVector(0.0, 1.0);
}
// 正方格子を生成する関数
void makeLattice(){
int row_num = ceil(col_num / base[1].y); // 行の数
lattice = new PVector[col_num + 1][row_num + 1];
for (int i = 0; i < col_num + 1; i++){
for (int j = 0; j < row_num + 1; j++){
PVector v = PVector.mult(base[0], i * scalar);
v.add(PVector.mult(base[1], j * scalar));
lattice[i][j] = new PVector(v.x, v.y);
}
}
}
// 三角形に模様を描く関数(基本図形)
PShape decorateTriangle(){
PVector[] v = new PVector[3]; // 三角形の頂点
v[0] = new PVector(0.0, 0.0);
v[1] = base[0].copy().mult(scalar);
v[1].add(base[1].copy().mult(scalar));
v[2] = base[0].copy().mult(scalar);
// 三角形を描く
// fill(255,255,255);
noFill();
PShape tri = createShape();
tri.beginShape(TRIANGLES); // 3点ずつの頂点から直角三角形を作る
for (int i=0; i<3; i++){
tri.vertex(v[i].x, v[i].y);
}
tri.endShape();
// 模様を描く
fill(200,0,0,128);
// PVector center = new PVector((v[1].x+v[2].x)/2.0, (v[1].y+v[2].y)/2.0);
PShape pattern = createShape();
pattern.beginShape();
PVector[] auxiliary_point = new PVector[4];
auxiliary_point[0] = getAuxiliaryPoint(v[0], v[1], 1.0/4.0, -1.0/10.0);
auxiliary_point[1] = getAuxiliaryPoint(v[0], v[1], 5.0/8.0, -2.0/5.0);
auxiliary_point[2] = getAuxiliaryPoint(v[0], v[1], 3.0/4.0, -3.0/20.0);
auxiliary_point[3] = getAuxiliaryPoint(v[0], v[1], 5.0/8.0, -1.0/10.0);
pattern.vertex(auxiliary_point[0].x, auxiliary_point[0].y);
pattern.bezierVertex(auxiliary_point[1].x, auxiliary_point[1].y, auxiliary_point[2].x, auxiliary_point[2].y, auxiliary_point[3].x, auxiliary_point[3].y);
pattern.endShape(CLOSE);
PShape decoratedTri = createShape(GROUP);
decoratedTri.addChild(tri);
decoratedTri.addChild(pattern);
return decoratedTri;
}
// 辺を変形するために必要な補助点を算出する関数
PVector getAuxiliaryPoint(
PVector start,
PVector end,
float parallel_size,
float vertical_size
){
PVector dir_parallel = end.copy().sub(start.copy());
PVector dir_vertical = new PVector(-dir_parallel.y, dir_parallel.x);
PVector auxiliary_point = start.copy().add(dir_parallel.copy().mult(parallel_size)).add(dir_vertical.copy().mult(vertical_size));
return auxiliary_point;
}
// タイルを生成する関数
void makeTileP4M(){
tile = createShape(GROUP); // PShapeのグループを作る
for(int i=0; i<4; i++){
for(int j=0; j<2; j++){
PShape isoscelesTriangle = decorateTriangle(); // 二等辺三角形の生成
isoscelesTriangle.scale(pow(-1,j), 1); // 二等辺三角形の反転
isoscelesTriangle.rotate(i*radians(90)); // 二等辺三角形の回転
tile.addChild(isoscelesTriangle); // グループに追加
}
}
}
// 格子形状に合わせたタイリングを描画する関数
void drawTiling(){
// background(255);
for (int i=0; i<lattice.length; i++){
for (int j=0; j<lattice[0].length; j++){
if( i%2 == 0 && j%2 == 0 ){
tile.resetMatrix();
tile.translate(lattice[i][j].x, lattice[i][j].y); // タイルの位置を指定
shape(tile); // タイルを描画
}
}
}
// 格子点を描く
noFill();
for (int i=0; i<lattice.length; i++){
for (int j=0; j<lattice[0].length; j++){
circle(lattice[i][j].x, lattice[i][j].y, 10);
}
}
}